Diketahui :[tex]f(x) = {6x}^{2} + 2x - 9[/tex][tex]g(x) = \frac{1}{2} x + 6[/tex]Tentukan :[tex]1. \: (f \: \circ \: g)(x)[/tex][tex]2. \: (f \: \circ \: g)^{ - 1}[/tex]​

Hasil dari fungsi komposisi pada nomor satu adalah sebagai berikut :

[tex]\bf (f\circ g)(x) = \dfrac{3}{2}x^2+7x+39[/tex]

Hasil dari fungsi invers pada nomor dua adalah sebagai berikut :

[tex]\bf (f\circ g)^{-1}(x) \bf = \dfrac{\pm \sqrt{6x-185}-7}{3}[/tex]

Fungsi invers sebagai jawaban dari soal nomor 2 ada dua kemungkinan jawaban.

Kasus yang ditanyakan termasuk dalam bab fungsi komposisi dan fungsi inversnya. Berikut sifat fungsi komposisi yang akan digunakan untuk penyelesaian soal :

[tex]\boxed{\begin{array}{ll} \sf (f\circ g)(x) = f(g(x))\end{array}}[/tex]

Adapun gambaran yang dimaksud invers adalah sebagai berikut :

[tex]\boxed{\begin{array}{ll} \sf f(y)^{-1} = x\\\\\sf f(x) = y \end{array}}[/tex]

Diketahui :

[tex]\begin{array}{ll} \sf f(x) &\sf = 6x^2 + 2x -9\\\\\sf g(x) &\sf = \dfrac{1}{2}x + 6\end{array}[/tex]

Ditanyakan :

[tex]\begin{array}{ll} \sf 1. ~ (f\circ g)(x) &\sf = ~?\\\\\sf 2. ~ (f\circ g)^{-1}(x) &\sf = ~?\end{array}[/tex]

Penyelesaian :

Langkah 1

Penentuan fungsi f komposisi g.

Inti dari fungsi komposisi ini adalah melakukan substitusi variabel x pada fungsi f dengan fungsi g.

[tex]\begin{array}{ll} \sf (f\circ g)(x) &\sf = f(g(x))\\\\\sf (f\circ g)(x) &\sf = 6 (g(x))^2 + 2(g(x))-9\\\\\sf (f\circ g)(x) &\sf = 6 (\dfrac{1}{2}x+6)^2+2(\dfrac{1}{2}x+6) -9\\\\\sf (f\circ g)(x) &\sf = 6 (\dfrac{1}{4}x^2+6x+36)+x+12 -9\\\\\sf (f\circ g)(x) &\sf = \dfrac{3}{2}x^2+(6+1)x+(36+12-9)\\\\\sf (f\circ g)(x) &\sf = \dfrac{3}{2}x^2+7x+39\end{array}[/tex]

Langkah 2

Perhitungan fungsi invers dari fungsi hasil langkah 1.

Inti dari invers adalah membuat x sama dengan fungsi dari fungsi itu sendiri. Untuk mempermudah, dimisalkan f komposisi g sebagai y.

[tex]\begin{array}{ll} \sf (f\circ g)(x) &\sf = y\\\\\sf Maka :\\\\\sf x&\sf =\dfrac{3}{2}(y^{-1})^2+7(y^{-1})+39\\\\\sf dikalikan~6 ~:\\\\\sf 6x &\sf = 9(y^{-1})^2+42y^{-1}+234\\\\\sf 6x &\sf = 9(y^{-1})^2+42y^{-1}+185+49\\\\\sf 6x-185&\sf =9(y^{-1})^2+42y^{-1}+49\\\\\sf 6x-185&\sf =(3y^{-1}+7)^2\\\\\sf (3y^{-1}+7)^2 &\sf =6x-185\\\\\sf 3y^{-1}+7&\sf =\pm \sqrt{6x-185}\\\\\sf y^{-1}&\sf = \dfrac{\pm \sqrt{6x-185}-7}{3}\\\\\sf atau \\\\\bf (f\circ g)^{-1}(x) &\bf = \dfrac{\pm \sqrt{6x-185}-7}{3}\end{array}[/tex]

Keterangan :

Sebaiknya penyelesaian di atas akan lebih sismatis dengan metode kuadrat sempurna (kalau cara di atas pakai teknik trial).

• Materi tentang contoh penentuan fungsi invers lainnya :https://brainly.co.id/tugas/13156966
• Materi tentang model penentuan fungsi tertentu ketika diketahui fungsi komposisi dan fungsi pasangan dalam fungsi komposisi itu :https://brainly.co.id/tugas/16164812
• Materi tentang dua contoh penentuan fungsi invers lainnya :https://brainly.co.id/tugas/134851

______________

Kelas    : XIMapel  : MatematikaBab      : 6 - FungsiKode    : 11.2.6