Pada Ketidaksamaan 4n < 2, ditarik asumsi benar untuk n = k sehingga 4k < 2k. Pembuktian bagi n = k + 1 akan bernilai benar untuk nilai n paling kecil yakni 5.
Penjelasan dan Langkah-langkah
Diketahui:
- Ketidaksamaan 4n < 2.
- Diasumsikan benar untuk n = k.
- 4k < 2k.
Ditanyakan:
- N = k + 1 akan bernilai benar dengan nilai n paling kecil adalah…?
Jawab:
Langkah paling awal dalam pembuktian menggunakan induksi matematika adalah dengan mensubsitusi nilai n = 1 atau nilai bilangan yang paling kecil yang ada pada soal. Jika nilai n = 1 ataupun nilai bilangan paling kecil di soal benar maka langkah yang dilakukan selanjutnya adalah memberikan bukti bahwa n = k sehingga pernyataan n = k + 1 benar. Di soal, kita mencari nilai n terkecil sehingga yang pertama kita lakukan mencari nilai n bilangan asli dengan nilai terkecil. Silahkan cermati berikut ini:
- Untuk n = 1, ruas pada bagian kiri yakni 4 . 1 = 4. Ruas pada sisi kanan yakni [tex]2^{1} = 2[/tex]. Untuk [tex]n = 1[/tex] pernyataan salah sebab [tex]4 > 2[/tex].
- Untuk n = 2, ruas pada bagian kiri yakni 4 . 2 = 8. Ruas pada sisi kanan yakni [tex]2^{2} = 4[/tex]. Untuk [tex]n = 1[/tex] pernyataan salah sebab [tex]8 > 4[/tex]
- Untuk n = 3, ruas pada bagian kiri yakni 4 . 3 = 12. Ruas pada sisi kanan yakni [tex]2^{3} = 8[/tex]. Untuk [tex]n = 1[/tex] pernyataan salah sebab [tex]12 > 8[/tex]
- Untuk n = 4, ruas pada bagian kiri yakni 4 . 4 = 16. Ruas pada sisi kanan yakni [tex]2^{4} = 16[/tex]. Untuk [tex]n = 1[/tex] pernyataan salah sebab [tex]8 = 8[/tex]
- Untuk n = 5, ruas pada bagian kiri yakni 4 . 5 = 20. Ruas pada sisi kanan yakni [tex]2^{5} = 32[/tex]. Untuk [tex]n = 1[/tex] pernyataan benar sebab [tex]20 < 32[/tex]
Langkah selanjutnya adalah membuktikan n = k adalah benar, maka pernyataan n = k + 1 adalah benar. Bagi n = k didapatkan bahwa:
Dengan demikian, kita asumsikan bahwa n = k adalah pernyataan benar.
Selanjutnya, kita akan mencoba membuktikan pernyataan benar atas n= k + 1. Caranya adalah dengan membuktikan bahwa ruas di kiri adalah sama dengan ruas di bagian kanan. Untuk ruas bagian kiri kita dapatkan sebagai berikut:
- [tex]4 ( k+1)[/tex]
- [tex]=4k+4[/tex]
- [tex]< 2^{k} +4[/tex]
- [tex]< 2^{k} +2^{k}[/tex]
- [tex]2.2^{k}[/tex]
- [tex]2^{k+1}[/tex]
Berdasar pada pembuktian di atas, disimpulkan bahwa [tex]4(k+1) < 2^{k+1}[/tex] sehingga bisa dinyatakan bahwa n = k + 1 adalah benar.
Pelajari Lebih Lanjut
- Pelajari lebih lanjut tentang materi apa yang dimaksud dengan persamaan linear pada link berikut https://brainly.co.id/tugas/2952663
#BelajarBersamaBrainly
#SPJ9
